CTSC2018 青蕈领主
题目描述
“也许，我的生命也已经如同风中残烛了吧。”小绿如是说。
小绿同学因为微积分这门课，对“连续”这一概念产生了浓厚的兴趣。小绿打算把连续的概念放到由整数构成的序列上，他定义一个长度为 $m$ 的整数序列是连续的，当且仅当这个序列中的最大值与最小值的差，不超过$m-1$。例如 $\{1,3,2\}$ 是连续的，而 $\{1,3\}$ 不是连续的。
某天，小绿的顶头上司板老大，给了小绿 $T$ 个长度为 $n$ 的排列。小绿拿到之后十分欢喜，他求出了每个排列的每个区间是否是他所定义的“连续”的。然而，小绿觉得被别的“连续”区间包含住的“连续”区间不够优秀，于是对于每个排列的所有右端点相同的“连续”区间，他只记录下了长度最长的那个“连续”区间的长度。也就是说，对于板老大给他的每一个排列，他都只记录下了在这个排列中，对于每一个 $1 \le i \le n$，右端点为 $i$ 的最长“连续”区间的长度 $L_i$。显然这个长度最少为 $1$，因为所有长度为 $1$ 的整数序列都是连续的。
做完这一切后，小绿爬上绿色床，美美地做了一个绿色的梦。
可是第二天醒来之后，小绿惊讶的发现板老大给他的所有排列都不见了，只剩下他记录下来的 $T$ 组信息。小绿知道自己在劫难逃，但是作为一个好奇的青年，他还是想知道：对于每一组信息，有多少个和信息符合的长度为 $n$ 的排列。
由于小绿已经放弃治疗了，你只需要告诉他每一个答案对 $998244353$ 取模的结果。
我们并不保证一定存在至少一个符合信息的排列，因为小绿也是人，他也有可能犯错。
输入格式
输入的第一行包含两个整数 $T,n$，分别表示板老大给小绿的排列个数、以及每个排列的长度。
接下来 $T$ 行，每行描述一组信息，包含 $n$ 个正整数，第 $i$ 组信息的从左往右第 $j$ 个整数 $L_{i,j}$ 表示第 $i$ 个排列中右端点为第 $j$ 个数的最长“连续”区间的长度。
对于每一行，如果行内包含多个数，则用单个空格将它们隔开。
输出格式
对于每组信息，输出一行一个整数表示可能的排列个数对 $998244353$ 取模的结果。由于是计算机帮你算，所以我们不给你犯错的机会。
数据范围与提示
| 测试点编号 | $n\le$ | $T\le$ | 特殊性质 |
|---|---|---|---|
| 1~2 | $10$ | 1 | 无 |
| 3~4 | $10$ | 100 | 无 |
| 5 | $300$ | 1 | $ L_{i,j}=j$ |
| 6 | $300$ | 1 | $L_{i,j}=1$ 且 $j<n$ |
| 7~8 | $300$ | 100 | 无 |
| 9 | $1000$ | 1 | $L_{i,j}=1$ 且 $j<n$ |
| 10~12 | $1000$ | 100 | 无 |
| 13~16 | $5000$ | 100 | 无 |
| 17~20 | $50000$ | 100 | 无 |
对于所有测试数据，$1 \le T \le 100$，$1 \le N \le 50000$, $1 \le L_{i,j} \le j$。
本题部分测试点的输入规模较大，请注意读入效率。
首先式子的推导推荐看六号的这一篇文章，十分详细，LOJ上首个正解AC的题解：
下面主要填一下分治NTT部分六老师没有详细讲的坑。
对于答案式子$f(n)=(n-1)f(n-1)+\sum_{i=2}^{n-2}(i-1)f(i)f(n-i)$，后面的部分不是很好处理，下面对这个式子的求解详细分析：
1.首先由于分治NTT的顺序类似二叉树的中序遍历，所以当我们算到底层的$f(n)$时，$f(1),f(2),…,f(n-1)$都应该算完了，所以前面的$(n-1)f(n-1)$在底层加上去就好了。
2.后面的部分由于做卷积的都是“自身”，所以似乎不那么好处理。
为了求解后面的式子，不妨采用一种“试探+调整”的思路。按照分治NTT的套路，应该把$[l,mid]$这一段与自身（可能其中一个要乘上一个系数）做卷积，再讨论对$[mid+1,r]$区间的贡献。这样就能得到对$f([max(2l,mid+1),r])$的一些贡献，注意这里$mid+1$和$2l$大小关系未知。
由于这样的分治要求在讨论$[mid+1,r]$之前要把之前区间所有的贡献都加上去，那么我们考虑还有哪些答案没有被加上去。
“之前的区间”是指哪些区间呢？显然是整个$[2,mid]$区间。由分治的顺序可知我们之前已经把$[2,l-1]$里$f$的卷积贡献加到了$[mid+1,r]$上，也把$[l,mid]$里$f$的卷积的贡献加到了$[mid+1,r]$上，那么当然只剩下了$[2,l-1]$和$[l,mid]$里各取一个$f$的贡献没有被计算到了。注意到这里必然有一个配对的形式：$f(a)$和$f(b)$的总贡献是$(a-1)f(a)f(b)$和$(b-1)f(b)f(a)$，两项加起来是$(a+b-2)f(a)f(b)$。所以我们只需要把两段区间的$f$先做卷积，在算贡献的时候把前面的系数乘上去即可。
这里做的正确性十分显然：首先显然不会算漏，同时也不会算重：讨论$[2,l-1]$时，$[l,mid+1]$一定没有算出来，不会加到答案里面。
同时注意到这里补充贡献的操作中，用来与$f([l,mid])$做卷积的多项式次数为$min(l-1,r-l)$。因为不会超过$r-l$，所以复杂度是有保证的。总时间复杂度$O(nlog^2n+Tn)$。$Tn$是每组询问用一个栈维护区间包含关系，比较简单就不详细说了。
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